7424. В пространстве рассматриваются два отрезка AB
и CD
, не лежащие в одной плоскости. Пусть M
и K
— их середины. Докажите, что MK\leqslant\frac{1}{2}(AD+BC)
.
Указание. Пусть K
— середина CD
. На продолжении отрезка BK
за точку K
отложите отрезок KP
, равный BK
.
Решение. Пусть K
— середина CD
. На продолжении отрезка BK
за точку K
отложим отрезок KP
, равный BK
. Рассмотрим плоскость ABP
. Отрезок MK
— средняя линия треугольника ABP
, поэтому MK=\frac{1}{2}AP
. Рассмотрим плоскость пересекающихся прямых BP
и CD
. Из равенства треугольников DKP
и CKB
следует, что DP=BC
. Применяя неравенство треугольника к треугольнику ADP
, получим, что
AP\lt AD+DP=AD+BC.
Следовательно,
MK=\frac{1}{2}AP\lt\frac{1}{2}(AD+BC).
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1955, билет 8, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 55-8-3, с. 52
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1977-78, IV, III этап, 10 класс
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — № 9.3, с. 177
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 11.2, с. 161