7427. Теорема об угле прямой с плоскостью. Докажите, что угол наклонной с плоскостью есть наименьший из углов, образованных этой наклонной со всевозможными прямыми плоскости.
Решение. Пусть наклонная l
пересекает плоскость \varphi
в точке A
и образует с плоскостью \varphi
угол \alpha
, а прямая a
, лежащая в плоскости \varphi
, образует с ортогональной проекцией прямой l
угол \beta
. Пусть точка M
лежит на прямой l
, причём AM=1
.
Опустим перпендикуляр MH
из точки M
на плоскость \varphi
, а через точку A
проведём прямую, параллельную прямой a
, и опустим на неё перпендикуляр MB
из точки M
. Обозначим угол между прямыми l
и AB
через \gamma
. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах BH\perp AB
.
Из прямоугольных треугольников AHM
, BHM
и ABH
находим, что
AH=AM\cos\angle MAH=AM\cos\alpha=\cos\alpha,
AB=AM\cos\angle BAM=AM\cos\gamma=\cos\gamma,
AB=AH\cos\angle BAH=\cos\alpha\cos\beta.
Значит, \cos\gamma=\cos\alpha\cos\beta
, а так как \cos\beta\leqslant1
, то \cos\gamma\leqslant\cos\alpha
. Следовательно, \gamma\geqslant\alpha
. При этом равенство достигается лишь в случае, когда прямая a
параллельна AH
.