7430. Докажите, что сумма углов пространственного четырёхугольника не превосходит 360^{\circ}
.
Указание. Сумма любых двух плоских углов трёхгранного угла больше третьего.
Решение. Пусть вершины четырёхугольника ABCD
не лежат в одной плоскости. Поскольку сумма двух любых плоских углов трёхгранного угла больше третьего, имеем:
\angle ABC\lt\angle ABD+\angle CBD,~\angle ADC\lt\angle ADB+\angle CDB.
Сложив почленно эти неравенства, получим, что
\angle ABC+\angle ADC\lt\angle ABD+\angle CBD+\angle ADB+\angle CDB=
=(\angle ABD+\angle ADB)+(\angle CBD+\angle CDB)=
=(180^{\circ}-\angle BAD)+(180^{\circ}-\angle BCD).
Следовательно,
\angle ABC+\angle BCD+\angle ADC+\angle BAD\lt360^{\circ}.
Источник: Моденов П. С. Пособие по математике. — Ч. II. — М.: Изд-во МГУ, 1972. — с. 261
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 10.13, с. 191
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 15.17, с. 241