7431. Докажите, что сумма плоских углов трёхгранного угла меньше 360^{\circ}
.
Указание. Пусть PABC
— трёхгранный угол с вершиной P
. Рассмотрите ещё три трёхгранных угла: ABPC
— с вершиной A
, BAPC
— с вершиной B
, CABP
— с вершиной C
. Примените к ним теорему о том, что сумма двух любых плоских углов трёхгранного угла больше третьего.
Решение. Рассмотрим трёхгранный угол PABC
с вершиной P
. Обозначим его плоские углы BPC
, APC
и APB
через \alpha_{1}
, \alpha_{2}
, \alpha_{3}
соответственно. Через точки A
, B
и C
, лежащие на рёбрах трёхгранного угла, проведём плоскость. Получим ещё три трёхгранных угла: ABPC
— с вершиной A
, BAPC
— с вершиной B
, CABP
— с вершиной C
. Обозначим углы при вершинах A
и B
треугольника APB
через \beta_{1}
и \gamma_{1}
, углы при вершинах B
и C
треугольника BPC
— через \beta_{2}
и \gamma_{2}
, углы при вершинах C
и A
треугольника CAP
— через \beta_{3}
и \gamma_{3}
. Тогда
\beta_{1}+\gamma_{3}\gt\angle BAC,~\beta_{2}+\gamma_{1}\gt\angle ABC,~\beta_{3}+\gamma_{2}\gt\angle ACB.
Сложив почленно эти неравенства, получим, что
\beta_{1}+\gamma_{1}+\beta_{2}+\gamma_{2}+\beta_{3}+\gamma_{3}\gt\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ},
поэтому
\angle BPC+\angle APC+\angle APB=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}=
=180^{\circ}-(\beta_{1}+\gamma_{1})+180^{\circ}-(\beta_{2}+\gamma_{2})+180^{\circ}-(\beta_{3}+\gamma_{3})=
=540^{\circ}-(\beta_{1}+\gamma_{1}+\beta_{2}+\gamma_{2}+\beta_{3}+\gamma_{3})\lt540^{\circ}-180^{\circ}=360^{\circ}.
Что и требовалось доказать.