7432. Докажите, что сумма внутренних двугранных углов трёхгранного угла больше 180^{\circ}
и меньше 540^{\circ}
.
Решение. Рассмотрим трёхгранный угол PABC
с вершиной P
. Обозначим линейные углы его двугранных углов при рёбрах PA
, PB
и PC
через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Поскольку каждый из них меньше 180^{\circ}
, их сумма меньше 540^{\circ}
.
Из произвольной точки M
, лежащей внутри данного трёхгранного угла, опустим перпендикуляры MA_{1}
, MB_{1}
и MC_{1}
на грани PBC
, PAC
и PAB
соответственно. Рассмотрим трёхгранный угол MA_{1}B_{1}C_{1}
с вершиной M
(полярный угол данного трёхгранного угла). Его плоские углы дополняют соответствующие двугранные углы до 180^{\circ}
, а так как сумма плоских углов любого трёхгранного угла меньше 360^{\circ}
, то
180^{\circ}-\alpha+180^{\circ}-\beta+180^{\circ}-\gamma\lt360^{\circ},
откуда
\alpha+\beta+\gamma\gt180^{\circ}.