7433. Пусть MC
— перпендикуляр к плоскости треугольника ABC
. Верно ли, что \angle AMB\lt\angle ACB
?
Ответ. Нет.
Решение. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC
, в котором AB=BC=1
, \angle ACB=\angle BAC=1^{\circ}
, а BK
— высота. Тогда
AC=2AK=2\cos1^{\circ}\gt2\cos30^{\circ}=\sqrt{3}.
Пусть MC=1
. Тогда
\angle BMC=45^{\circ},~\angle AMC\gt60^{\circ},
Значит,
\angle AMB+\angle BMC=\angle AMB+45^{\circ}\gt\angle AMC\gt60^{\circ}.
Следовательно,
\angle AMB\gt60^{\circ}-45^{\circ}=15^{\circ}\gt1^{\circ}=\angle ACB.