7434. Докажите, что сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360^{\circ}
.
Указание. Пусть PA_{1}A_{2}\dots A_{n}
— выпуклый многогранный угол с вершиной P
. Рассмотрите n
трёхгранных углов: A_{1}PA_{2}A_{n}
— с вершиной A_{1}
, A_{2}PA_{1}A_{3}
— с вершиной A_{2}
и т. д., A_{n}PA_{n-1}A_{1}
— с вершиной A_{n}
.
Решение. Рассмотрим выпуклый многогранный угол PA_{1}A_{2}\dots A_{n}
с вершиной P
. Обозначим его плоские углы A_{1}PA_{2}
, A_{2}PA_{3}
, …, A_{n}PA_{1}
через \alpha_{1}
, \alpha_{2}
, …, \alpha_{n}
соответственно. Через точки A_{1}
, A_{2}
, …, A_{n}
, лежащие на рёбрах трёхгранного угла, проведём плоскость. Получим n
трёхгранных углов: A_{1}PA_{2}A_{n}
— с вершиной A_{1}
, A_{2}PA_{1}A_{3}
— с вершиной A_{2}
и т. д., A_{n}PA_{n-1}A_{1}
— с вершиной A_{n}
. Обозначим углы при вершинах A_{1}
и A_{2}
треугольника A_{1}PA_{2}
через \beta_{1}
и \gamma_{1}
, углы при вершинах A_{2}
и A_{3}
треугольника A_{2}PA_{3}
через \beta_{2}
и \gamma_{2}
, и т. д., углы при вершинах A_{n}
и A_{1}
треугольника A_{n}PA_{1}
через \beta_{n}
и \gamma_{n}
, а углы при вершинах A_{1}
, A_{2}
, …, A_{n}
выпуклого многоугольника A_{1}A_{2}\dots A_{n}
через \varphi_{1}
, \varphi_{2}
, …, \varphi_{n}
соответственно. Тогда по теореме о сумме плоских углов трёхгранного угла
\beta_{1}+\gamma_{n}\gt\varphi_{1},~\beta_{2}+\gamma_{1}\gt\varphi_{2},~\dots,~\beta_{n}+\gamma_{n-1}\gt\varphi_{n}.
Сложив почленно эти неравенства, получим, что
\beta_{1}+\gamma_{n}+\beta_{2}+\gamma_{1}+\dots+\beta_{n}+\gamma_{n-1}\gt\varphi_{1}+\varphi_{2}+\dots+\varphi_{n}=180^{\circ}(n-2),
поэтому
\alpha_{1}+\alpha_{2}+\dots+\alpha_{n}=
=180^{\circ}-(\beta_{1}+\gamma_{1})+180^{\circ}-(\beta_{2}+\gamma_{2})+\dots+180^{\circ}-(\beta_{n}+\gamma_{n})=
=180^{\circ}\cdot n-(\beta_{1}+\gamma_{1}+\beta_{2}+\gamma_{2}+\dots+\beta_{n}+\gamma_{n})\lt180^{\circ}\cdot n-180^{\circ}(n-2)=360^{\circ}.
Что и требовалось доказать.