7437. Внутри тетраэдра ABCD
выбрана точка P
, причём \angle PAD=\angle PBC
, \angle PDA=\angle PCB
, \angle APC=\angle BPD
. Докажите, что если AC=BD
, то либо AP=BP
, либо AP=DP
.
Указание. Примените теорему косинусов.
Решение. Обозначим
DP=a,~AP=b,~\angle APC=\angle BPD=\alpha.
Треугольник BCP
подобен треугольнику ADP
по двум углам, поэтому CP=ka
и BP=kb
, где k
— коэффициент подобия. По теореме косинусов
AC^{2}=PA^{2}+PC^{2}-2PA\cdot PC\cos\alpha=b^{2}+k^{2}a^{2}-2abk\cos\alpha,
BD^{2}=PB^{2}+PD^{2}-2PB\cdot PD\cos\alpha=k^{2}b^{2}+a^{2}-2abk\cos\alpha,
а так как AC=BD
, то
b^{2}+k^{2}a^{2}-2abk\cos\gamma=k^{2}b^{2}+a^{2}-2abk\cos\gamma,
b^{2}+k^{2}a^{2}=k^{2}b^{2}+a^{2},~(a^{2}-b^{2})(k^{2}-1)=0.
Следовательно, либо a=b
, либо k=1
. В первом случае AP=DP
, во втором — AP=BP
. Что и требовалось доказать.