7438. Теорема косинусов для трёхгранного угла. Пусть \alpha
, \beta
, \gamma
— плоские углы трёхгранного угла SABC
с вершиной S
, противолежащие рёбрам SA
, SB
, SC
соответственно; A
, B
, C
— двугранные углы при этих рёбрах. Докажите, что
\cos A=\frac{\cos\alpha-\cos\beta\cos\gamma}{\sin\beta\sin\gamma},~\cos B=\frac{\cos\beta-\cos\alpha\cos\gamma}{\sin\alpha\sin\gamma},~\cos C=\frac{\cos\gamma-\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta}.
Решение. Рассмотрим три некомпланарных вектора \overrightarrow{SA}=\overrightarrow{e_{1}}
, \overrightarrow{SB}=\overrightarrow{e_{2}}
, \overrightarrow{SC}=\overrightarrow{e_{3}}
. Будем считать, что |\overrightarrow{e_{1}}|=|\overrightarrow{e_{2}}|=|\overrightarrow{e_{3}}|=1
.
Пусть M
и N
— ортогональные проекции точек B
и A
на прямую SC
. Тогда
\overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{e_{1}}+\cos\beta\,\overrightarrow{e_{3}},~\overrightarrow{BM}=-\overrightarrow{e_{2}}+\cos\alpha\,\overrightarrow{e_{3}},
\overrightarrow{AN}\cdot\overrightarrow{BM}=(-\overrightarrow{e_{1}}+\cos\beta\,\overrightarrow{e_{3}})(-\overrightarrow{e_{2}}+\cos\alpha\,\overrightarrow{e_{3}})=
=\overrightarrow{e_{1}}\cdot\overrightarrow{e_{2}}-\overrightarrow{e_{1}}\cdot\overrightarrow{e_{3}}\,\cos\alpha-\overrightarrow{e_{2}}\cdot\overrightarrow{e_{3}}\,\cos\beta+\overrightarrow{e_{3}}^{2}\,\cos\alpha\cos\beta=
=\cos\gamma-\cos\alpha\cos\beta-\cos\alpha\cos\beta+\cos\alpha\cos\beta=\cos\gamma-\cos\alpha\cos\beta,
|\overrightarrow{AN}|=|\overrightarrow{e_{1}}|\sin\beta=\sin\beta,~|\overrightarrow{BM}|=|\overrightarrow{e_{2}}|\sin\alpha=\sin\alpha.
Следовательно,
\cos C=\frac{\overrightarrow{AN}\cdot\overrightarrow{BM}}{|\overrightarrow{AN}|\cdot|\overrightarrow{BM}|}=\frac{\cos\gamma-\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta}.
Аналогично для остальных двугранных углов.