7439. Пусть \alpha
, \beta
, \gamma
— плоские углы трёхгранного угла SABC
с вершиной S
, противолежащие рёбрам SA
, SB
, SC
соответственно; A
, B
, C
— двугранные углы при этих рёбрах. Докажите, что
\cos\alpha=\frac{\cos A+\cos B\cos C}{\sin B\sin C},~\cos\beta=\frac{\cos B+\cos A\cos C}{\sin A\sin C},~\cos\gamma=\frac{\cos C+\cos A\cos B}{\sin A\sin B}.
Указание. Примените теорему косинусов для трёхгранного угла к полярному углу данного трёхгранного угла.
Решение. Из произвольной точки O
, взятой внутри данного трёхгранного угла, опустим перпендикуляры на грани трёхгранного угла. Получим новый трёхгранный угол (полярный угол данного трёхгранного угла). Его плоские и двугранные углы дополняют соответственно двугранные и плоские углы данного трёхгранного угла до 180^{\circ}
. Применив к полярному углу теорему косинусов для трёхгранного угла, получим, что
\cos(180^{\circ}-\alpha)=\frac{\cos(180^{\circ}-A)-\cos(180^{\circ}-B)\cos(180^{\circ}-C)}{\sin(180^{\circ}-B)\sin(180^{\circ}-C)},
\cos(180^{\circ}-\beta)=\frac{\cos(180^{\circ}-B)-\cos(180^{\circ}-A)\cos(180^{\circ}-C)}{\sin(180^{\circ}-A)\sin(180^{\circ}-C)},
\cos(180^{\circ}-\gamma)=\frac{\cos(180^{\circ}-C)\cos(180^{\circ}-A)\cos(180^{\circ}-B)}{\sin(180^{\circ}-A)\sin(180^{\circ}-B)}.
Поэтому
-\cos\alpha=\frac{-\cos A-\cos B\cos C}{\sin B\sin C},~-\cos\beta=\frac{-\cos B-\cos A\cos C}{\sin A\sin C},
-\cos\gamma=\frac{-\cos C-\cos A\cos B}{\sin A\sin B}.
Следовательно,
\cos\alpha=\frac{\cos A+\cos B\cos C}{\sin B\sin C},~\cos\beta=\frac{\cos B+\cos A\cos C}{\sin A\sin C},~\cos\gamma=\frac{\cos C+\cos A\cos B}{\sin A\sin B}.