7440. Все двугранные углы некоторого трёхгранного угла острые. Докажите, что все его плоские углы также острые.
Указание. С помощью теоремы косинусов для трёхгранного угла выразите плоские углы данного трёхгранного угла через его двугранные углы.
Решение. Пусть \alpha
, \beta
, \gamma
— плоские углы трёхгранного угла SABC
с вершиной S
, противолежащие рёбрам SA
, SB
, SC
соответственно; A
, B
, C
— двугранные углы при этих рёбрах. Докажем, что
\cos\alpha=\frac{\cos A+\cos B\cos C}{\sin B\sin C},~\cos\beta=\frac{\cos B+\cos A\cos C}{\sin A\sin C},~\cos\gamma=\frac{\cos C+\cos A\cos B}{\sin A\sin B}.
Из произвольной точки O
, взятой внутри данного трёхгранного угла, опустим перпендикуляры на грани трёхгранного угла. Получим новый трёхгранный угол (полярный угол данного трёхгранного угла). Его плоские и двугранные углы дополняют соответственно двугранные и плоские углы данного трёхгранного угла до 180^{\circ}
. Применив к полярному углу теорему косинусов для трёхгранного угла, получим, что
\cos(180^{\circ}-\alpha)=\frac{\cos(180^{\circ}-A)-\cos(180^{\circ}-B)\cos(180^{\circ}-C)}{\sin(180^{\circ}-B)\sin(180^{\circ}-C)},
\cos(180^{\circ}-\beta)=\frac{\cos(180^{\circ}-B)-\cos(180^{\circ}-A)\cos(180^{\circ}-C)}{\sin(180^{\circ}-A)\sin(180^{\circ}-C)},
\cos(180^{\circ}-\gamma)=\frac{\cos(180^{\circ}-C)\cos(180^{\circ}-A)\cos(180^{\circ}-B)}{\sin(180^{\circ}-A)\sin(180^{\circ}-B)}.
Поэтому
-\cos\alpha=\frac{-\cos A-\cos B\cos C}{\sin B\sin C},~-\cos\beta=\frac{-\cos B-\cos A\cos C}{\sin A\sin C},
-\cos\gamma=\frac{-\cos C-\cos A\cos B}{\sin A\sin B}.
Следовательно,
\cos\alpha=\frac{\cos A+\cos B\cos C}{\sin B\sin C},~\cos\beta=\frac{\cos B+\cos A\cos C}{\sin A\sin C},~\cos\gamma=\frac{\cos C+\cos A\cos B}{\sin A\sin B}.
Тогда, если все двугранные углы — острые, их косинусы положительны, и из полученных формул следует, что положительны и косинусы всех плоских углов. Поэтому все плоские углы — острые.
Источник: Моденов П. С. Пособие по математике. — Ч. II. — М.: Изд-во МГУ, 1972. — с. 270
Источник: Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989. — № 5.8б, с. 82
Источник: Прасолов В. В. Задачи по стереометрии. — 2-е изд. — М.: МЦНМО, 2016. — № 6.12б, с. 77
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия. Стереометрия: Задачник для 10—11 кл. — М.: Дрофа, 1998. — № 185, с. 27