7444. Найдите высоту и радиус основания цилиндра наибольшего объёма, вписанного в сферу радиуса R
.
Ответ. \frac{2R}{\sqrt{3}}
; R\sqrt{\frac{2}{3}}
.
Решение. Пусть h
— высота цилиндра, r
— радиус его основания (рис. 1). Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через её центр O
(рис. 2). В сечении получится окружность радиуса R
, в которую вписан прямоугольник ABCD
со сторонами AD=BC=2r
, AB=CD=h
и диагональю AC=2R
, причём центр O
окружности совпадает с центром прямоугольника ABCD
. Из прямоугольного треугольника ACD
находим, что
4r^{2}=AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=4R^{2}-h^{2}.
Пусть V(h)
— объём цилиндра. Тогда
V(h)=\pi r^{2}h=\frac{1}{4}\pi h(4R^{2}-h^{2}).
Таким образом, задача сводится к нахождению наибольшего значения функции V(h)=\frac{1}{4}\pi h(4R^{2}-h^{2})
на интервале (0;2R)
.
Решив уравнение V'(h)=0
, найдём критические точки функции V(h)
. Рассмотрим только те из них, которые принадлежат промежутку (0;2R)
.
V'(h)=\left(\frac{1}{4}\pi h(4R^{2}-h^{2})\right)'=\frac{1}{4}\pi(4R^{2}h-h^{3})'=\pi\left(R^{2}-\frac{3}{4}h^{2}\right).
Промежутку (0;2R)
принадлежит единственный корень этого уравнения h=\frac{2R}{\sqrt{3}}
. При переходе через точку h=\frac{2R}{\sqrt{3}}
производная меняет знак с плюса на минус. Значит, на промежутке \left(0;\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)
функция V(h)
возрастает, а на промежутке \left(\frac{2R}{\sqrt{3}};2R\right)
— убывает. Следовательно, при h=\frac{2R}{\sqrt{3}}
объём цилиндра — наибольший. При этом
r=\frac{1}{2}\sqrt{4R^{2}-h^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{4R^{2}-\frac{4}{3}R^{2}}=R\sqrt{\frac{2}{3}}.