7447. Конус описан около куба следующим образом: четыре вершины куба лежат в плоскости основания конуса, а четыре другие вершины — на его боковой поверхности. Какой наименьший объём может иметь такой конус, если ребро куба равно a
?
Ответ. \frac{9}{8}\pi a^{3}
.
Решение. Пусть вершины A
, B
, C
, D
куба ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
(рис. 1) лежат на боковой поверхности конуса с вершиной P
, а вершины A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
, D_{1}
— в плоскости основания (AA_{1}\parallel BB_{1}\parallel CC_{1}\parallel DD_{1}
). Проведём осевое сечение конуса, проходящее через вершины A
и C
куба. Получим равнобедренный треугольник PMN
(рис. 2), в который вписан прямоугольник ACC_{1}A_{1}
, вершины A
и C
которого лежат на боковых сторонах PM
и PN
соответственно, а вершины A_{1}
и C_{1}
— на основании MN
, причём CC_{1}=AA_{1}=a
, A_{1}C_{1}=AC=a\sqrt{2}
.
Пусть PO=h
— высота конуса, OM=ON=r
— радиус его основания. Из подобия треугольников APC
и MPN
следует, что
\frac{PO}{MN}=\frac{PO-AA_{1}}{AC},~\mbox{или}~\frac{h}{2r}=\frac{h-a}{a\sqrt{2}},
откуда находим, что r=\frac{ah\sqrt{2}}{2(h-a)}
. Обозначим через V(h)
объём конуса. Тогда
V(h)=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{6}\pi a^{2}\cdot\frac{h^{3}}{(h-a)^{2}}.
Таким образом, задача сводится к нахождению наибольшего значения функции V(h)=\frac{1}{6}\pi a^{2}\cdot\frac{h^{3}}{(h-a)^{2}}
на луче (a;+\infty)
.
Решив уравнение V'(h)=0
, найдём критические точки функции V(h)
. Рассмотрим только те из них, которые принадлежат промежутку (a;+\infty)
.
V'(h)=\frac{1}{6}\pi a^{2}\left(\frac{h^{3}}{(h-a)^{2}}\right)'=\frac{1}{6}\pi a^{2}\frac{3h^{2}(h-a)^{2}-2h^{3}(h-a)}{(h-a)^{4}}=
=\frac{1}{6}\pi a^{2}\frac{h^{2}(h-a)(3(h-a)-2h)}{(h-a)^{4}}=\frac{1}{6}\pi a^{2}\frac{h^{2}(h-3a)}{(h-a)^{3}}=0.
Промежутку (a;+\infty)
принадлежит единственный корень этого уравнения h=3a
. При переходе через точку h=3a
производная меняет знак с минуса на плюс. Значит, на промежутке (0;3a)
функция V(h)
убывает, а на промежутке (3a;+\infty)
— возрастает. Следовательно, при h=3a
объём конуса наименьший. При этом
V(3a)=\frac{1}{6}\pi a^{2}\cdot\frac{(3a)^{3}}{(3a-a)^{2}}=\frac{9}{8}\pi a^{3}.