7448. В сферу радиуса R
вписана правильная четырёхугольная пирамида. Каков наибольший возможный объём этой пирамиды?
Ответ. \frac{64}{81}R^{3}
.
Решение. Пусть правильная четырёхугольная пирамида PABCD
(рис. 1) вписана в сферу с центром O
и радиусом R
. Обозначим через a
и h
соответственно сторону основания ABCD
и высоту пирамиды и проведём сечение через точки P
, A
и C
(рис. 2). Поскольку точка O
принадлежит плоскости сечения, получим равнобедренный треугольник с основанием a\sqrt{2}
, вписанный в окружности радиуса R
.
Пусть продолжение радиуса PO
пересекает отрезок AC
в точке M
, а окружность — в точке K
. Тогда M
— середина AC
, а CM
— высота прямоугольного треугольника PCK
, проведённая из вершины прямого угла. Поэтому
CM^{2}=PM\cdot MK,~\mbox{или}~\frac{1}{2}a^{2}=h(2R-h),
откуда a^{2}=2h(2R-h)
.
Обозначим через V(h)
— объём пирамиды PABCD
. Тогда
V(h)=\frac{1}{3}S_{ABCD}\cdot PM=\frac{1}{3}a^{2}h=\frac{1}{3}\cdot2h^{2}(2R-h)=\frac{2}{3}h^{2}(2R-h).
Таким образом, задача сводится к нахождению наибольшего значения функции V(h)=\frac{2}{3}h^{2}(2R-h)
на интервале (0;2R)
.
Первый способ. Решив уравнение V'(h)=0
, найдём критические точки функции V(h)
. Рассмотрим только те из них, которые принадлежат промежутку (0;2R)
.
V'(h)=\frac{2}{3}(h^{2}(2R-h))'=\frac{2}{3}(2Rh^{2}-h^{3})'=\frac{2}{3}(4Rh-3h^{2})=\frac{2}{3}h(4R-3h)=0.
Промежутку (0;2R)
принадлежит единственный корень этого уравнения h=\frac{4}{3}R
. При переходе через точку h=\frac{4}{3}R
производная меняет знак с плюса на минус. Значит, на промежутке \left(0;\frac{4}{3}R\right)
функция V(h)
возрастает, а на промежутке \left(\frac{4}{3}R;2R\right)
— убывает. Следовательно, при h=\frac{4}{3}R
объём пирамиды ABCD
наибольший. При этом
V\left(\frac{4}{3}R\right)=\frac{2}{3}\cdot\left(\frac{4}{3}R\right)^{2}\cdot\left(2R-\frac{4}{3}R\right)=\frac{64}{81}R^{3}.
Второй способ. Применяя неравенство Коши для трёх чисел, получим, что
V(h)=\frac{2}{3}h^{2}(2R-h)=\frac{2}{3}\pi\cdot4\cdot\frac{1}{2}h\cdot\frac{1}{2}h(2R-h)\geqslant
\geqslant\frac{8}{3}\pi\cdot\left(\frac{\frac{1}{2}h+\frac{1}{2}h+(2R-h)}{3}\right)^{3}=\frac{8}{3}\pi\cdot\frac{8}{27}R=\frac{64}{81}\pi,
причём равенство достигается, если \frac{1}{2}h=2R-h
, т. е. при h=\frac{4}{3}R
. Следовательно, наибольшее значение объёма конуса достигается при h=\frac{4}{3}R
.