7453. Высота правильной треугольной пирамиды равна высоте её основания, объём пирамиды равен V
. Рассматриваются правильные треугольные призмы, вписанные в пирамиду так, что боковое ребро лежит на высоте основания пирамиды, противоположная этому ребру боковая грань параллельна основанию пирамиды, и вершины этой грани лежат на боковой поверхности пирамиды. Найдите:
а) объём той призмы, плоскость боковой грани которой делит высоту пирамиды в отношении 3:1
, считая от вершины пирамиды;
б) наибольшее значение объёма рассматриваемых призм.
Ответ. а) \frac{3}{32}V
;
б) \frac{1}{9}V
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1980, билет 11, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 80-11-4, с. 228