7459. В правильной треугольной призме ABCA_{1}B_{1}C_{1}
, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние от точки A
до плоскости BCA_{1}
.
Ответ. \sqrt{\frac{3}{7}}
.
Решение. Пусть M
— середина ребра BC
, H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки A
на прямую A_{1}M
. Прямая BC
перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости AA_{1}M
, значит, эта прямая перпендикулярна плоскости AA_{1}M
, а значит, и прямой AH
. Таким образом, прямая AH
перпендикулярна двум пересекающимся прямым A_{1}M
и BC
плоскости BCA_{1}
. Следовательно, AH
— перпендикуляр к плоскости BCA_{1}
, и расстояние от точки A
до этой плоскости равно длине отрезка AH
.
В прямоугольном треугольнике AMA_{1}
известно, что
AA_{1}=1,~AM=\frac{\sqrt{3}}{2},~A_{1}M=\sqrt{AA_{1}^{2}+MA_{1}^{2}}=\sqrt{1+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{2}.
Записав двумя способами площадь прямоугольного треугольника AMA_{1}
, получим равенство \frac{1}{2}A_{1}M\cdot AH=\frac{1}{2}AM\cdot AA_{1}
, откуда
AH=\frac{AM\cdot AA_{1}}{A_{1}M}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot1}{\frac{\sqrt{7}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\sqrt{\frac{3}{7}}.