7463. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
, все рёбра которой равны, найдите косинус угла между прямыми AB
и FE_{1}
.
Ответ. \frac{\sqrt{2}}{4}
.
Решение. Пусть O
— центр правильного шестиугольника ABCDEF
. Тогда OF\parallel AB
, значит, угол между скрещивающимися прямыми AB
и FE_{1}
равен углу между пересекающимися прямыми OF
и FE_{1}
, т. е. углу OFE_{1}
.
Пусть сторона основания призмы равна a
. Из прямоугольного треугольника EOE_{1}
находим, что
E_{1}O=\sqrt{EE_{1}^{2}+OE^{2}}=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=a\sqrt{2}.
Проведём медиану E_{1}M
треугольника OE_{1}F
со сторонами OF=a
, E_{1}O=a\sqrt{2}
и FE_{1}=a\sqrt{2}
. Тогда E_{1}M
— высота этого треугольника. Следовательно,
\cos\angle OFE_{1}=\frac{FM}{FE_{1}}=\frac{\frac{a}{2}}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}.
