7464. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
, все рёбра которой равны, найдите косинус угла между прямыми AB_{1}
и BC_{1}
.
Ответ. \frac{3}{4}
.
Решение. Пусть O
— центр правильного шестиугольника ABCDEF
. Тогда AO\parallel BC\parallel B_{1}C_{1}
и AO=B_{1}C_{1}
, значит, четырёхугольник AOC_{1}B_{1}
— параллелограмм, поэтому OC_{1}\parallel AB_{1}
. Следовательно, угол между скрещивающимися прямыми AB_{1}
и BC_{1}
равен углу между пересекающимися прямыми OC_{1}
и BC_{1}
, т. е. углу OC_{1}B
.
Пусть сторона основания призмы равна a
. По теореме косинусов из равнобедренного треугольника OC_{1}B
находим, что
\cos\angle OC_{1}B=\frac{C_{1}O^{2}+C_{1}B^{2}-OB^{2}}{2C_{1}O\cdot C_{1}B}=\frac{(a\sqrt{2})^{2}+(a\sqrt{2})^{2}-a^{2}}{2a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}}=\frac{2+2-1}{2\cdot2}=\frac{3}{4}.
