7469. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
, все рёбра которой равны, найдите синус угла между прямой BC_{1}
и плоскостью BCE_{1}
.
Ответ. \frac{\sqrt{6}}{4}
.
Решение. Пусть все рёбра данной призмы равны a
, H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки C_{1}
на CE_{1}
. Прямая E_{1}F_{1}
перпендикулярна двум пересекающимся прямым C_{1}E_{1}
и EE_{1}
плоскости CC_{1}E_{1}E
, значит, эта прямая перпендикулярна плоскости CC_{1}E_{1}E
, а так как в этой плоскости содержится прямая C_{1}H
, то C_{1}H\perp E_{1}F_{1}
.
Таким образом, прямая C_{1}H
перпендикулярна двум пересекающимся прямым CE_{1}
и E_{1}F_{1}
плоскости BCE_{1}F_{1}
. Следовательно, C_{1}H
— перпендикуляр к этой плоскости, BH
— ортогональная проекция наклонной BC_{1}
к этой плоскости, а HBC_{1}
— искомый угол между прямой BC_{1}
и плоскостью BCE_{1}F_{1}
.
Записав двумя способами площадь прямоугольного треугольника CC_{1}E
со сторонами CC_{1}=a
, C_{1}E_{1}=a\sqrt{3}
и CE_{1}=2a
, получим равенство \frac{1}{2}CE_{1}\cdot C_{1}H=\frac{1}{2}C_{1}E_{1}\cdot CC_{1}
, откуда
C_{1}H=\frac{C_{1}E_{1}\cdot CC_{1}}{CE_{1}}=\frac{a\sqrt{3}\cdot a}{2a}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.
Из прямоугольного треугольника BHC_{1}
находим, что
\sin\angle HBC_{1}=\frac{C_{1}H}{BC_{1}}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}.
Источник: Смирнов В. А. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C2. Геометрия. Стереометрия / Под. ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — № 6, с. 50