7470. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
, все рёбра которой равны, найдите тангенс угла между плоскостями ABC
и DB_{1}F_{1}
.
Ответ. \frac{2}{3}
.
Решение. Поскольку плоскости оснований ABCDEF
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
призмы параллельны, искомый угол равен углу между плоскостями A_{1}B_{1}C_{1}
и DB_{1}F_{1}
.
Пусть все рёбра данной призмы равны a
, M
— середина отрезка B_{1}F_{1}
, O
— центр правильного шестиугольника A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
. Тогда D_{1}M\perp B_{1}F_{1}
и D_{1}M=D_{1}O+OM=a+\frac{a}{2}=\frac{3a}{2}
.
Из равенства прямоугольных треугольников DBB_{1}
и DFF_{1}
следует равенство сторон DB_{1}
и DF_{1}
треугольника DB_{1}F_{1}
. Медиана DM
равнобедренного треугольника DB_{1}F_{1}
является его высотой, поэтому DM\perp B_{1}F_{1}
. Значит, DMD_{1}
— линейный угол двугранного угла с ребром B_{1}F_{1}
, образованного плоскостями A_{1}B_{1}C_{1}
и DB_{1}F_{1}
. Из прямоугольного треугольника DMD_{1}
находим, что
\tg\angle DMD_{1}=\frac{DD_{1}}{D_{1}M}=\frac{a}{\frac{3a}{2}}=\frac{2}{3}.
Источник: Смирнов В. А. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C2. Геометрия. Стереометрия / Под. ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — № 8, с. 26
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 5(а), с. 26