7475. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние от точки B
до прямой A_{1}D_{1}
.
Ответ. \frac{\sqrt{7}}{2}
.
Решение. Поскольку BC\parallel B_{1}C_{1}\parallel A_{1}D_{1}
, прямые BC
и A_{1}D_{1}
лежат в одной плоскости, причём A_{1}BCD_{1}
— равнобедренная трапеция. Расстояние от точки B
до прямой A_{1}D_{1}
равно высоте этой трапеции.
Пусть BH
— высота трапеции A_{1}BCD_{1}
. Тогда
A_{1}H=\frac{1}{2}(A_{1}D_{1}-BC)=\frac{1}{2}(2-1)=\frac{1}{2},
а так как A_{1}B=\sqrt{2}
, то
BH=\sqrt{A_{1}B^{2}-A_{1}H^{2}}=\sqrt{2-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}.