7480. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние от точки A
до прямой BE_{1}
.
Ответ. \frac{2}{\sqrt{5}}
.
Решение. Расстояние от точки A
до прямой BE_{1}
равно высоте AH
треугольника ABE_{1}
.
Поскольку AE\perp AB
, а AE
— ортогональная проекция наклонной E_{1}A
на плоскость основания ABCDEF
, то по теореме о трёх перпендикулярах E_{1}A\perp AB
. Значит, треугольник ABE_{1}
— прямоугольный, а AH
— его высота, проведённая из вершины прямого угла.
Из прямоугольных треугольников AEE_{1}
и BEE_{1}
находим, что
AE_{1}=\sqrt{EE_{1}^{2}+AE^{2}}=\sqrt{1+(\sqrt{3})^{2}}=2,
BE_{1}=\sqrt{EE_{1}^{2}+BE^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.
Записав двумя способами площадь треугольника ABE_{1}
, получим равенство \frac{1}{2}BE_{1}\cdot AH=\frac{1}{2}AB\cdot AE_{1}
, откуда
AH=\frac{AB\cdot AE_{1}}{BE_{1}}=\frac{1\cdot2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.
Источник: Смирнов В. А. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C2. Геометрия. Стереометрия / Под. ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — № 10, с. 52