7481. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние от точки A
до плоскости DEA_{1}
.
Ответ. \frac{\sqrt{3}}{2}
.
Решение. Пусть H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки A
на прямую EA_{1}
. Прямая DE
перпендикулярна двум пересекающимся прямым AE
и AA_{1}
плоскости AEE_{1}A_{1}
, содержащей прямую AH
, значит, AH\perp DE
. Прямая AH
перпендикулярна двум пересекающимся прямым DE
и EA_{1}
плоскости DEA_{1}
, значит, AH
— перпендикуляр к этой плоскости. Следовательно, расстояние от точки A
до плоскости DEA_{1}
равно длине отрезка AH
.
В прямоугольном треугольнике EAA_{1}
известно, что AE=\sqrt{3}
, а AA_{1}=1
, поэтому \angle AEH=\angle AEA_{1}=30^{\circ}
. Следовательно,
AH=\frac{1}{2}AE=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Источник: Смирнов В. А. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C2. Геометрия. Стереометрия / Под. ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — № 7, с. 37
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 5(е), с. 35