7484. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние от точки A
до плоскости CEF_{1}
.
Ответ. \frac{3\sqrt{2}}{4}
.
Решение. Пусть L
— точка пересечения диагоналей AD
и CE
основания ABCDEF
, M
— точка пересечения диагоналей A_{1}D_{1}
и B_{1}F_{1}
основания A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
, K
— проекция точки M
на плоскость ABCDEF
. Тогда точка K
лежит на отрезке AD
, MK
— высота треугольника AML
,
MK=AA_{1}=1,~LD=\frac{1}{4}AD=\frac{1}{2},~AL=\frac{3}{4}AD=\frac{3}{2}.
Поскольку MB_{1}=LC
и MB_{1}\parallel LC
, то CLMB_{1}
— параллелограмм (даже прямоугольник), поэтому ML=CB_{1}=\sqrt{2}
.
Пусть AH
— ещё одна высота треугольника AML
. Прямая CE
перпендикулярна двум пересекающимся прямым AL
и MK
плоскости AML
, содержащей прямую AH
, значит, AH\perp CE
. Прямая AH
перпендикулярна двум пересекающимся прямым CE
и ML
плоскости CEF_{1}
, значит, AH
— перпендикуляр к этой плоскости. Следовательно, расстояние от точки A
до плоскости CEF_{1}
равно длине отрезка AH
.
Записав двумя способами площадь треугольника AML
, получим равенство \frac{1}{2}ML\cdot AH=\frac{1}{2}AL\cdot MK
, откуда
AH=\frac{AL\cdot MK}{ML}=\frac{\frac{3}{2}\cdot1}{\sqrt{2}}=\frac{3}{2\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}.