7485. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
с основанием ABCDEF
найдите косинус угла между прямыми SB
и AE
, если известно, что боковое ребро вдвое больше стороны основания.
Ответ. \frac{\sqrt{3}}{4}
.
Решение. Поскольку AE\parallel BD
, угол между скрещивающимися прямыми SB
и AE
равен углу между пересекающимися прямыми SB
и BD
, т. е. углу DBS
.
Пусть сторона основания и боковое ребро данной пирамиды равны a
и 2a
соответственно, M
— середина BD
. Тогда SM
— медиана, а значит, и высота равнобедренного треугольника BSD
, BM=\frac{1}{2}BD=\frac{a\sqrt{3}}{2}
. Следовательно,
\cos\angle DBS=\cos\angle MBS=\frac{BM}{SB}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{4}.
Источник: Смирнов В. А. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C2. Геометрия. Стереометрия / Под. ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — № 7, с. 16
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 6(в), с. 17