7490. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
с основанием ABCDEF
найдите расстояние от точки A
до прямой SB
, если известно, что стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2.
Ответ. \frac{\sqrt{15}}{4}
.
Решение. Пусть M
— середина ребра AB
. Отрезок SM
— медиана, а значит, и высота равнобедренного треугольника ASB
.
Из прямоугольного треугольника AMS
находим, что
SM=\sqrt{SA^{2}-AM^{2}}=\sqrt{4-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{15}}{2},
Пусть AH
— ещё одна высота треугольника ASB
. Тогда расстояние от точки A
до прямой SB
равно длине отрезка AH
. Записав двумя способами площадь равнобедренного треугольника ASB
, получим равенство \frac{1}{2}SB\cdot AH=\frac{1}{2}AB\cdot SM
, откуда
AH=\frac{AB\cdot SM}{SB}=\frac{1\cdot\frac{\sqrt{15}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{15}}{4}.
Источник: Смирнов В. А. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C2. Геометрия. Стереометрия / Под. ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — № 11, с. 58