7495. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
с основанием ABCDEF
найдите расстояние от точки A
до плоскости SCE
, если известно, что стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2.
Ответ. 3\sqrt{\frac{3}{13}}
.
Решение. Пусть O
— центр правильного шестиугольника ABCDEF
, M
— точка пересечения его диагоналей AD
и EC
. Тогда M
— середина EC
и OD
, AD\perp EC
, CM
— высота равностороннего треугольника COD
со стороной 1,
CE=2CM=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3},~AM=AO+OM=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
Тогда \frac{OM}{AM}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}
, поэтому расстояние от точки A
до плоскости SCE
, втрое больше расстояния от точки O
до этой плоскости.
Опустим перпендикуляр OH
из точки A
на медиану SM
равнобедренного треугольника SCE
. Прямая CE
перпендикулярна двум пересекающимся прямым AD
и SM
плоскости ASM
, содержащей прямую OH
, значит, OH\perp CE
. Прямая OH
перпендикулярна двум пересекающимся прямым CE
и SM
плоскости SCE
, значит, OH
— перпендикуляр к этой плоскости. Следовательно, расстояние от точки O
до плоскости SCE
равно длине отрезка OH
.
Из прямоугольных треугольников SOD
и SCM
находим, что
SO=\sqrt{SD^{2}-OD^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3},~SM=\sqrt{SC^{2}-CM^{2}}=\sqrt{4-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4-\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{13}}{2}.
Отрезок OH
— высота прямоугольного треугольника SOM
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
OH=\frac{OM\cdot SO}{SM}=\frac{\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{13}}{2}}=\sqrt{\frac{3}{13}}.
Следовательно, расстояние от точки A
до плоскости SCE
равно 3\sqrt{\frac{3}{13}}
.
Источник: Смирнов В. А. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C2. Геометрия. Стереометрия / Под. ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — № 15, с. 47
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 6(з), с. 35