7498. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние от точки A
до плоскости CFA_{1}
.
Ответ. \frac{\sqrt{21}}{7}
.
Решение. Пусть O
— центр основания ABCDEF
, M
— точка пересечения диагоналей AE
и CF
этого основания. Тогда AM
— высота равностороннего треугольника AOF
, поэтому AM=\frac{AF\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}
.
Опустим перпендикуляр AH
из точки A
на плоскость CFA_{1}B_{1}
. Прямая CF
перпендикулярна двум пересекающимся прямым AA_{1}
и AM
плоскости AA_{1}M
, содержащей прямую AH
, значит, AH\perp CF
. Прямая AH
перпендикулярна двум пересекающимся прямым CF
и A_{1}M
плоскости CFA_{1}B_{1}
, поэтому AH
— перпендикуляр к этой плоскости. Следовательно, расстояние от точки A
до плоскости CFA_{1}B_{1}
равно длине отрезка AH
.
По теореме Пифагора
A_{1}M=\sqrt{AA_{1}^{2}+AM^{2}}=\sqrt{1+\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}.
Записав двумя способами площадь прямоугольного треугольника AA_{1}M
, получим равенство \frac{1}{2}A_{1}M\cdot AH=\frac{1}{2}AM\cdot AA_{1}
, откуда находим, что
AH=\frac{AM\cdot AA_{1}}{A_{1}M}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot1}{\frac{\sqrt{7}}{2}}=\sqrt{\frac{3}{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}.
Источник: Смирнов В. А. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C2. Геометрия. Стереометрия / Под. ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — № 15, с. 59