7499. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}
, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние от точки A
до прямой CF_{1}
.
Ответ. \frac{\sqrt{30}}{5}
.
Решение. Расстояние от точки A
до прямой CF_{1}
равно высоте AH
треугольника ACF_{1}
.
Поскольку AC\perp AF
, а AF
— ортогональная проекция наклонной F_{1}A
на плоскость основания ABCDEF
, то по теореме о трёх перпендикулярах F_{1}A\perp AC
. Значит, треугольник ACF_{1}
— прямоугольный, а AH
— его высота, проведённая из вершины прямого угла.
Из прямоугольного треугольника CFF_{1}
находим, что
CF_{1}=\sqrt{FF_{1}^{2}+CF^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.
Записав двумя способами площадь прямоугольного треугольника ACF_{1}
, получим равенство \frac{1}{2}CF_{1}\cdot AH=\frac{1}{2}AC\cdot AF_{1}
, из которого находим, что
AH=\frac{AC\cdot AF_{1}}{CF_{1}}=\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{6}{5}}=\frac{\sqrt{30}}{5}.
Источник: Смирнов В. А. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C2. Геометрия. Стереометрия / Под. ред. А. Л. Семёнова, И. В. Ященко. — М.: МЦНМО, 2010. — № 12, с. 58