7501. Площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса под углом 30^{\circ}
к его оси, равна площади осевого сечения. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.
Ответ. 2\arctg\frac{2}{\sqrt{3}}=\arccos\left(-\frac{1}{7}\right)
.
Решение. Пусть равнобедренный треугольник PAB
— указанное сечение конуса с вершиной P
, O
— центр окружности основания конуса, M
— середина хорды AB
этой окружности. Тогда угол MPO
— это угол между осью конуса и секущей плоскостью, \angle MPO=30^{\circ}
.
Пусть r
— радиус основания конуса, h
— высота конуса, \alpha
— угол в осевом сечении. Тогда
OM=PO\tg\angle MPO=h\tg30^{\circ}=\frac{h}{\sqrt{3}},~PM=2OM=\frac{2h}{\sqrt{3}},
AM=\sqrt{OA^{2}-OM^{2}}=\sqrt{r^{2}-\frac{h^{2}}{3}},
S_{\triangle APB}=PM\cdot AM=\frac{2h\sqrt{3r^{2}-h^{2}}}{3},
а так как площадь осевого сечения конуса равна rh
, то по условию задачи
\frac{2h\sqrt{3r^{2}-h^{2}}}{3}=rh,~\mbox{или}~\sqrt{3r^{2}-h^{2}}=\frac{3}{2}r,
откуда находим, что r^{2}=\frac{4}{3}h^{2}
. Следовательно,
\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{r}{h}=\frac{2}{\sqrt{3}}.