7503. Сфера радиуса
r
касается всех рёбер треугольной пирамиды. Центр этой сферы лежит на высоте пирамиды. Докажите, что пирамида правильная и найдите её высоту, если известно, что центр сферы удалён от вершины пирамиды на расстояние
r\sqrt{3}
.
Ответ.
\frac{4}{3}r\sqrt{3}
.
Указание. Докажите, что центры описанной и вписанной окружностей основания совпадают.
Решение. Пусть указанная сфера с центром
O
, расположенным на высоте
PQ
треугольной пирамиды
PABC
с вершиной
P
, касается рёбер
AB
,
BC
,
AC
,
PA
,
PB
и
PC
в точках
K
,
L
,
M
,
D
,
E
и
F
соответственно. Из равенства прямоугольных треугольников
PDO
,
PEO
и
PFO
(по катету и гипотенузе) следует равенство углов
OPD
,
OPE
и
OPF
. Значит, прямоугольные треугольники
APQ
,
BPQ
и
CPQ
равны по катету и прилежащему острому углу. Поэтому
QA=QB=QC
, т. е.
Q
— центр окружности, описанной около треугольника
ABC
.
Прямоугольные треугольники
OQK
,
OQL
и
OQM
также равны по катету и гипотенузе, поэтому
QK=QL=QM
. Поскольку прямая
AB
касается сферы в точке
K
,
OK\perp AB
. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах
QK\perp AB
. Аналогично,
QL\perp BC
и
QM\perp AC
. Значит,
Q
— центр окружности, вписанной в треугольник
ABC
.
Поскольку центры вписанной и описанной окружностей треугольника
ABC
совпадают, треугольник
ABC
— равносторонний. Высота пирамиды
PABC
проходит через центр основания, поэтому пирамида
PABC
правильная, причём угол между её высотой и боковым ребром равен углу между высотой и ребром правильного тетраэдра, т. е.
\arcsin\frac{1}{3}
. Следовательно,
PABC
— правильный тетраэдр, а точка
O
— его центр. Поэтому
PQ=\frac{4}{3}PO=\frac{4}{3}r\sqrt{3}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1966, вариант 2, № 3
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — вариант 1, № 3, с. 37
Источник: Моденов П. С. Пособие по математике. — Ч. II. — М.: Изд-во МГУ, 1972. — с. 253, № 84
Источник: Пособие по математике для поступающих в вузы / Под ред. Г. Н. Яковлева. — 3-е изд. — М.: Наука, 1988. — № 60, с. 538
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 2: Стереометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — № 25, с. 239