7503. Сфера радиуса r
касается всех рёбер треугольной пирамиды. Центр этой сферы лежит на высоте пирамиды. Докажите, что пирамида правильная и найдите её высоту, если известно, что центр сферы удалён от вершины пирамиды на расстояние r\sqrt{3}
.
Ответ. \frac{4}{3}r\sqrt{3}
.
Указание. Докажите, что центры описанной и вписанной окружностей основания совпадают.
Решение. Пусть указанная сфера с центром O
, расположенным на высоте PQ
треугольной пирамиды PABC
с вершиной P
, касается рёбер AB
, BC
, AC
, PA
, PB
и PC
в точках K
, L
, M
, D
, E
и F
соответственно. Из равенства прямоугольных треугольников PDO
, PEO
и PFO
(по катету и гипотенузе) следует равенство углов OPD
, OPE
и OPF
. Значит, прямоугольные треугольники APQ
, BPQ
и CPQ
равны по катету и прилежащему острому углу. Поэтому QA=QB=QC
, т. е. Q
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
.
Прямоугольные треугольники OQK
, OQL
и OQM
также равны по катету и гипотенузе, поэтому QK=QL=QM
. Поскольку прямая AB
касается сферы в точке K
, OK\perp AB
. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах QK\perp AB
. Аналогично, QL\perp BC
и QM\perp AC
. Значит, Q
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
.
Поскольку центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC
совпадают, треугольник ABC
— равносторонний. Высота пирамиды PABC
проходит через центр основания, поэтому пирамида PABC
правильная, причём угол между её высотой и боковым ребром равен углу между высотой и ребром правильного тетраэдра, т. е. \arcsin\frac{1}{3}
. Следовательно, PABC
— правильный тетраэдр, а точка O
— его центр. Поэтому
PQ=\frac{4}{3}PO=\frac{4}{3}r\sqrt{3}.