7505. Конус с вершиной S
вписан в треугольную пирамиду SPQR
, причём окружность основания конуса вписана в основание PQR
пирамиды. Известно, что \angle PSR=90^{\circ}
, \angle SQR=45^{\circ}
, \angle PSQ=105^{\circ}
. Найдите отношение площади боковой поверхности конуса к площади основания PQR
.
Ответ. \frac{\pi(4\sqrt{3}-3)}{13}
.
Решение. Пусть окружность (с центром O
) основания конуса касается сторон PQ
, QR
и PR
треугольника PQR
в точках K
, L
и M
соответственно. Тогда SK
, SL
и SM
— образующие конуса. Обозначим
SK=SL=SM=a,~OK=OL=OM=r.
По теореме о трёх перпендикулярах SK\perp PQ
, SL\perp QR
, SM\perp PR
. Значит, SK
, SL
и SM
— высоты треугольников PSQ
, QSR
и PSR
. Далее имеем:
QK=QL=SL=a,~\angle SQK=\angle SQR=45^{\circ},~\angle KSQ=90^{\circ}-\angle SQK=45^{\circ},
\angle KSP=\angle PSQ-\angle KSQ=105^{\circ}-45^{\circ}=60^{\circ},
\angle SPK=90^{\circ}-\angle KSP=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ},~PK=SK\tg60^{\circ}=a\sqrt{3},
PM=PK=a\sqrt{3},~\angle SPR=\angle SPQ=30^{\circ},
\angle SRP=90^{\circ}-\angle SPR=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ},
RM=SM\ctg60^{\circ}=\frac{a}{\sqrt{3}},~RL=RM=\frac{a}{\sqrt{3}}.
Значит, полупериметр треугольника PQR
равен a+a\sqrt{3}+\frac{a}{\sqrt{3}}
, его площадь равна \left(a+a\sqrt{3}+\frac{a}{\sqrt{3}}\right)r
, а так как площадь боковой поверхности конуса равна \pi ar
, то искомое отношение равно
\frac{\pi}{1+\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{3\pi}{3+4\sqrt{3}}=\frac{\pi\sqrt{3}}{4+\sqrt{3}}=\frac{\pi(4\sqrt{3}-3)}{13}.