7510. Три конуса радиусы основания которых равны R
и составляют \frac{3}{4}
высоты, расположены по одну сторону от плоскости \alpha
, а их основания лежат в этой плоскости. Окружности оснований каждых двух из этих конусов касаются. Найдите радиус шара, лежащего между конусами и касающегося как плоскости \alpha
, так и всех трёх конусов.
Ответ. \frac{2R(2\sqrt{3}-3)}{3}
.
Решение. Пусть O
— точка касания указанного шара с плоскостью оснований конусов, а O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
— центры оснований конусов (рис. 1). Тогда O_{1}O_{2}O_{3}
— равносторонний треугольник со стороной 2R
(рис. 2), поэтому
OO_{1}=OO_{2}=OO_{3}=\frac{2R\sqrt{3}}{3}.
Проведём плоскость через высоту CO_{1}
одного из конусов и параллельный ей радиус QO
шара. Получим равнобедренный треугольник ABC
(осевое сечение конуса) и окружность, касающуюся боковой стороны, например AC
, в точке D
, а продолжения основания AB
— в точке O
(рис. 3). По условию задачи O_{1}A=R
, CO_{1}=\frac{4}{3}R
.
Обозначим QO=r
, \angle OAQ=\varphi
, \angle CAO_{1}=2\gamma
. Тогда
\varphi=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle CAO_{1})=\frac{1}{2}(180^{\circ}-2\gamma)=90^{\circ}-\gamma.
Из прямоугольного треугольника CAO_{1}
находим, что
\tg2\gamma=\tg\angle CAO_{1}=\frac{CO_{1}}{AO_{1}}=\frac{4}{3}.
Из уравнения
\tg2\gamma=\frac{2\tg\gamma}{1-\tg^{2}\gamma}=\frac{4}{3},
находим, что \tg\gamma=\frac{1}{2}
, значит,
OA=r\ctg\varphi=r\ctg(90^{\circ}-\gamma)=r\tg\gamma=\frac{1}{2}r.
Поскольку OO_{1}=OA+AO_{1}
, имеем уравнение
\frac{2R\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{2}r+R,
откуда находим, что r=\frac{2R(2\sqrt{3}-3)}{3}
.