7511. Цилиндр описан около шара радиуса R
. Точка P
расположена внутри цилиндра на его оси и удалена на \frac{3}{4}R
от нижнего основания. Через эту точку проведена плоскость \alpha
, имеющая с окружностью основания только одну общую точку. В шар вписан конус, основание которого лежит в плоскости \alpha
, а вершина расположена выше этой плоскости. Найдите объём конуса.
Ответ. \frac{48}{125}\pi R^{3}
.
Решение. Рассмотрим сечение цилиндра плоскостью, проходящей через центр шара и точку P
(рис. 2). Получим квадрат ABCD
, в который вписана окружность радиуса R
с центром O
. Пусть секущая плоскость пересекается с плоскостью \alpha
по прямой AK
(K
— точка на BC
), а M
и N
— точки пересечения окружности с прямой AK
. Тогда MN
— диаметр основания указанного конуса, середина Q
отрезка MN
— центр основания конуса, E
— точка касания окружности со стороной AB
, а точка L
пересечения продолжения отрезка QO
за точку O
с окружностью, вписанной в квадрат ABCD
, — вершина конуса. Обозначим QM=QN=r
, LQ=h
, \angle KAB=\varphi
. Тогда
\tg\varphi=\frac{PE}{AE}=\frac{\frac{3}{4}R}{R}=\frac{3}{4},~\cos\varphi=\frac{4}{5},
OQ=OP\cos\angle POQ=\frac{1}{4}R\cos\varphi=\frac{1}{5}R.
Из прямоугольного треугольника OQN
находим, что
r=QN=\sqrt{ON^{2}-OQ^{2}}=\sqrt{R^{2}-\left(\frac{1}{5}R\right)^{2}}=\frac{2}{5}R\sqrt{6},
а так как
h=QL=OL+OQ=R+\frac{1}{5}R=\frac{6}{5}R,
то, обозначив через V
объём конуса, получим, что
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{2}{5}R\sqrt{6}\right)^{2}\cdot\frac{6}{5}R=\frac{48}{125}\pi R^{3}.