7514. В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD
сторона основания равна a
, боковое ребро равно \frac{5}{2}a
. Одно основание цилиндра лежит в плоскости PAB
, другое вписано в сечение пирамиды. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Ответ. \frac{\pi a^{2}\sqrt{23}}{9}
.
Решение. Пусть плоскость сечения пересекает рёбра AD
, PD
, PC
и BC
правильной пирамиды PABCD
в точках K
, L
, M
и N
соответственно (рис. 1). Тогда по теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей KN\parallel AB
, KL\parallel AP
, MN\parallel BP
. Обозначим \frac{DK}{AD}=x
. Тогда
\frac{PL}{PD}=\frac{PM}{PC}=1-x,
поэтому LM\parallel CD
и стороны равнобедренной трапеции KLMN
равны:
KN=AB=a,~MN=KL=x\cdot AP=\frac{5}{2}ax,~LM=(1-x)CD=(1-x)a.
Поскольку в трапецию KLMN
можно вписать окружность (основание цилиндра),
KL+MN=KN+LM,~\mbox{или}~5ax=a+(1-x)a,
откуда находим, что x=\frac{1}{3}
.
Пусть r
— радиус основания цилиндра. Тогда r
— радиус окружности, вписанной в трапецию KLMN
с основаниями a
, \frac{2}{3}a
и боковыми сторонами, равными \frac{5}{6}a
. Если MF
— высота трапеции, то
FN=\frac{1}{2}(KN-LM)=\frac{1}{2}\left(a-\frac{2}{3}a\right)=\frac{1}{6}a,
MF=\sqrt{MN^{2}-FN^{2}}=\sqrt{\frac{25a^{2}}{36}-\frac{a^{2}}{36}}=a\sqrt{\frac{2}{3}}.
Следовательно, r=\frac{1}{2}MF=\frac{1}{2}a\sqrt{\frac{2}{3}}
.
Для нахождения высоты цилиндра рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину P
и середины G
и H
рёбер AB
и CD
(рис. 2). Из треугольника APB
находим, что
PG=\sqrt{AP^{2}-AG^{2}}=\sqrt{\frac{25a^{2}}{4}-\frac{a^{2}}{4}}=a\sqrt{6}.
Если E
— точка касания окружности основания цилиндра с прямой KN
, то перпендикуляр ET
, опущенный из точки E
на прямую PG
, равен высоте цилиндра. Пусть HR
— высота равнобедренного треугольника PGH
, проведённая к боковой стороне, а PQ
— высота, проведённая к его основанию. Тогда
PQ=\sqrt{PG^{2}-QG^{2}}=\sqrt{6a^{2}-\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{23}}{2},
HR=\frac{GH\cdot PQ}{PG}=\frac{a\cdot\frac{a\sqrt{23}}{2}}{a\sqrt{6}}=\frac{a\sqrt{23}}{2\sqrt{6}},~ET=\frac{2}{3}HR=\frac{a\sqrt{23}}{3\sqrt{6}}.
Следовательно, боковая поверхность цилиндра равна
2\pi r\cdot ET=2\pi\cdot\frac{1}{2}a\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot\frac{a\sqrt{23}}{3\sqrt{6}}=\frac{\pi a^{2}\sqrt{23}}{9}.