7515. Вершина A
правильной призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
совпадает с вершиной конуса, вершины B
и C
лежат на боковой поверхности конуса, а вершины B_{1}
и C_{1}
— на окружности его основания. Найдите отношение объёмов конуса и призмы, если AB_{1}:AB=5:1
.
Ответ. \frac{125}{18}\pi
.
Указание. На лучах AB
и AC
отложите от вершины A
отрезки, равные стороне основания призмы.
Решение. Обозначим AB=a
. Тогда AB_{1}=5a
. На продолжениях рёбер AB
и AC
за точки B
и C
отложим соответственно отрезки BM
и CN
, равные 4a
. Тогда точки M
и N
лежат на окружности основания конуса. Пусть r
— радиус основания конуса, h
— его высота, V_{1}
— объём конуса, V
— объём призмы ABCA_{1}B_{1}C_{1}
.
Окружность основания конуса описана около равнобедренной трапеции MNB_{1}C_{1}
с основаниями B_{1}C_{1}=a
, MN=5a
и боковыми сторонами
NC_{1}=MB_{1}=\sqrt{BB_{1}^{2}+BM^{2}}=\sqrt{AB_{1}^{2}-AB^{2}+BM^{2}}=
=\sqrt{25a^{2}-a^{2}+16a^{2}}=2a\sqrt{10}.
Пусть C_{1}K
— высота трапеции. Тогда
KN=\frac{1}{2}(MN-B_{1}C_{1})=\frac{1}{2}(5a-a)=2a,~KM=\frac{1}{2}(MN+B_{1}C_{1})=\frac{1}{2}(5a+a)=3a,
C_{1}K=\sqrt{C_{1}N^{2}-KN^{2}}=\sqrt{40a^{2}-4a^{2}}=6a,~C_{1}M=\sqrt{C_{1}K^{2}+KM^{2}}=\sqrt{36a^{2}+9a^{2}}=3a\sqrt{5},
\sin\angle MNC_{1}=\frac{C_{1}K}{C_{1}N}=\frac{6a}{2a\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}},~r=\frac{C_{1}M}{2\sin\angle MNC_{1}}=\frac{3a\sqrt{5}}{\frac{6}{\sqrt{10}}}=\frac{5a\sqrt{2}}{2},
h=\sqrt{AM^{2}-r^{2}}=\sqrt{25a^{2}-\frac{25a^{2}}{2}}=\frac{5a\sqrt{2}}{2},
V_{1}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{5a\sqrt{2}}{2}\right)^{2}\cdot\frac{5a\sqrt{2}}{2}=\frac{125\pi a^{3}\sqrt{2}}{12},
V=\frac{AB^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot AA_{1}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\cdot2a\sqrt{6}=\frac{3a^{3}\sqrt{2}}{2}.
Следовательно,
\frac{V_{1}}{V}=\frac{\frac{125\pi a^{3}\sqrt{2}}{12}}{\frac{3a^{3}\sqrt{2}}{2}}=\frac{125}{18}\pi.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1978, билет 3, № 6
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 78-3-6, с. 203