7519. Одна вершина правильного тетраэдра расположена на оси цилиндра, а другие вершины — на боковой поверхности цилиндра. Найдите ребро тетраэдра, если радиус основания цилиндра равен R
.
Ответ. R\sqrt{3}
; \frac{R\sqrt{11}}{3}
.
Указание. Пусть вершина A
правильного тетраэдра ABCD
расположена на оси цилиндра а вершины B
, C
и D
— на боковой поверхности. Рассмотрите ортогональные проекции точек B
, C
и D
на ось цилиндра.
Решение. Пусть вершина A
правильного тетраэдра ABCD
расположена на оси цилиндра, а вершины B
, C
и D
— на его боковой поверхности. Рассмотрим ортогональные проекции B_{1}
, C_{1}
и D_{1}
точек соответственно B
, C
и D
на ось цилиндра. Из равенства прямоугольных треугольников ABB_{1}
, ACC_{1}
и ADD_{1}
следует равенство отрезков AB_{1}
, AC_{1}
и AD_{1}
, расположенных на оси цилиндра. Поэтому либо точки B_{1}
, C_{1}
и D_{1}
совпадают, либо две из них совпадают, а третья симметрична им относительно вершины A
.
В первом случае (рис. 1) плоскость, проходящая через вершины B
, C
и D
, лежащие на боковой поверхности цилиндра, перпендикулярна оси. Тогда равносторонний треугольник BCD
вписан в окружность радиуса R
. Следовательно, его сторона равна R\sqrt{3}
.
Во втором случае (рис. 2) только одна сторона равностороннего треугольника BCD
перпендикулярна оси конуса. Предположим, что это сторона BC
. Обозначим через a
ребро тетраэдра. Пусть K
— середина BC
, P
— точка пересечения прямой B_{1}K
с образующей цилиндра, проходящей через точку D
(рис. 3). Рассмотрим осевое сечение цилиндра, проходящее через точку D
. Получим прямоугольник DD_{1}B_{1}P
, в который вписан равнобедренный треугольник ADK
, причём A
— середина B_{1}D_{1}
,
DD_{1}=B_{1}P=R,~AD=a,~AK=DK=\frac{a\sqrt{3}}{2}.
Из прямоугольных треугольников AD_{1}D
, AB_{1}K
и DPK
находим, что
AD_{1}=\sqrt{AD^{2}-D_{1}D^{2}}=\sqrt{a^{2}-R^{2}},
B_{1}K=\sqrt{AK^{2}-AB_{1}^{2}}=\sqrt{AK^{2}-AD^{2}}=\sqrt{\frac{3a^{2}}{4}-a^{2}+R^{2}}=\sqrt{R^{2}-\frac{a^{2}}{4}},
KP=\sqrt{DK^{2}-DP^{2}}=\sqrt{DK^{2}-4AD^{2}}=
=\sqrt{\frac{3a^{2}}{4}-4a^{2}+4R^{2}}=\sqrt{4R^{2}-\frac{13a^{2}}{4}},
а так как B_{1}P=B_{1}K+KP
, получим уравнение
R=\sqrt{R^{2}-\frac{a^{2}}{4}}+\sqrt{4R^{2}-\frac{13a^{2}}{4}},
из которого находим, что a=\frac{R\sqrt{11}}{3}
.