7522. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60^{\circ}
. Внутри конуса расположены три сферы радиуса 1. Каждая сфера касается двух других, основания конуса и его боковой поверхности. Найдите радиус основания конуса.
Ответ. \frac{5}{\sqrt{3}}
.
Указание. Рассмотрите ортогональную проекцию конуса и данных сфер на плоскость основания конуса, а также осевое сечение конуса, проходящее через центр одной из данных сфер.
Решение. Пусть O_{1}
, O_{2}
и O_{3}
(рис. 1) — центры сфер, O
— центр окружности основания конуса, R
— её радиус, A
, B
и C
— ортогональные проекции точек O_{1}
, O_{2}
и O_{3}
на плоскость основания конуса (рис. 2). Тогда O
— центр равностороннего треугольника ABC
, со стороной 2. Поэтому
OA=OB=OC=\frac{2\sqrt{3}}{3}.
Проведём плоскость через ось конуса и параллельный ей радиус O_{1}A
одной из сфер (рис. 3). Получим окружность радиуса 1, вписанную в угол с вершиной D
, равный 60^{\circ}
. Тогда
AD=AO_{1}\ctg30^{\circ}=\sqrt{3}.
Следовательно,
R=OD=OA+AD=\frac{2\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}=\frac{5\sqrt{3}}{3}.