7523. Четыре сферы радиуса 1 попарно касаются. Найдите радиус сферы, касающейся всех четырёх сфер.
Ответ. \sqrt{\frac{3}{2}}\pm1
.
Указание. Рассмотрите правильный тетраэдр с вершинами в центрах данных сфер.
Решение. Пусть сфера радиуса r
с центром O
касается внутренним образом данных сфер с центрами O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
и O_{4}
. Тогда O
— центр правильного тетраэдра O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}
, ребро которого равно 2. Радиус R
сферы, описанной около правильного тетраэдра O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}
, равен \frac{3}{4}
его высоты, т. е.
R=\frac{3}{4}\cdot2\sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{3}{2}}.
Следовательно,
r=R+1=\sqrt{\frac{3}{2}}+1.
Если сфера радиуса r
с центром O
касается данных сфер внешним образом, то аналогично находим, что
r=R-1=\sqrt{\frac{3}{2}}-1.
Источник: Вступительный экзамен на химический факультет МГУ. — 1968, вариант 1, № 3
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — вариант 1, № 3, с. 329