7524. Четыре сферы радиуса 1 попарно касаются. Найдите высоту цилиндра, содержащего эти сферы так, что три из них касаются одного основания и боковой поверхности, а четвёртая — другого основания цилиндра.
Ответ. 2\sqrt{\frac{2}{3}}+2
.
Указание. Рассмотрите правильный тетраэдр с вершинами в центрах данных сфер.
Решение. Пусть O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
и O_{4}
— центры данных сфер, H
— искомая высота цилиндра. Рассмотрим правильный тетраэдр O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}
, ребро которого равно 2. Если h
— его высота, то h=2\sqrt{\frac{2}{3}}
. Следовательно,
H=h+1+1=2\sqrt{\frac{2}{3}}+2.