7525. Четыре сферы радиуса 1 попарно касаются друг друга. Найдите высоту конуса, содержащего эти сферы так, что все они касаются боковой поверхности и три из них — основания конуса.
Ответ. 1+2\sqrt{\frac{2}{3}}+\sqrt{3}
.
Указание. Рассмотрите правильный тетраэдр с вершинами в центрах данных сфер.
Решение. Пусть данные сферы с центрами O_{1}
, O_{2}
и O_{3}
касаются основания конуса с вершиной A
, а центр O_{4}
четвёртой сферы лежит на высоте конуса, равной H
. Рассмотрим правильный тетраэдр O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}
, ребро которого равно 2. Если h
— его высота, а \alpha
— угол между высотой O_{4}M
и боковым ребром, то
h=2\sqrt{\frac{2}{3}},~\sin\alpha=\frac{O_{2}M}{O_{4}O_{2}}=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}.
Пусть сфера с центром O_{4}
касаются боковой поверхности конуса в точке B
. Тогда O_{4}B\perp AB
и
AO_{4}=\frac{O_{4}B}{\sin\alpha}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}.
Следовательно,
H=1+h+O_{4}A=1+2\sqrt{\frac{2}{3}}+\sqrt{3}.
Источник: Вступительный экзамен на химический факультет МГУ. — 1968, вариант 3, № 3
Источник: Моденов П. С. Экзаменационные задачи по математике с анализом их решения. — М.: Просвещение, 1969. — вариант 3, № 3, с. 330
Источник: Моденов П. С. Пособие по математике. — Ч. II. — М.: Изд-во МГУ, 1972. — с. 241, № 15