7526. В конус помещены пять равных шаров. Четыре из них лежат на основании конуса, причём каждый из этих четырёх шаров касается двух других, лежащих на основании, и боковой поверхности конуса. Пятый шар касается боковой поверхности и остальных четырёх шаров. Найдите объём конуса, если радиус каждого шара равен r
.
Ответ. \frac{1}{3}(1+2\sqrt{2})^{3}\pi r^{3}
.
Указание. Рассмотрите правильную четырёхугольную пирамиду с вершинами в центрах данных сфер.
Решение. Пусть данные шары с центрами O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
и O_{4}
(рис. 1) касаются основания конуса с вершиной A
и радиусом основания R
в точках Q_{1}
, Q_{2}
, Q_{3}
и Q_{4}
соответственно, а центр O_{5}
пятого шара лежит на высоте AP
конуса, равной h
. Тогда P
— центр квадрата Q_{1}Q_{2}Q_{3}Q_{4}
со стороной 2r
, поэтому
PQ_{1}=PQ_{2}=PQ_{3}=PQ_{4}=r\sqrt{2}.
Рассмотрим правильную четырёхугольную пирамиду O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}O_{5}
с вершиной O_{5}
, все рёбра которой равны 2. Угол между её боковым ребром и плоскостью основания равен 45^{\circ}
. Поскольку боковое ребро пирамиды O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}O_{5}
параллельно некоторой образующей конуса, то угол при основании осевого сечения конуса также равен 45^{\circ}
.
Рассмотрим осевое сечение ABC
конуса (рис. 2), проходящее через точку O_{1}
. Пусть точка Q_{1}
лежит на катете BP
прямоугольного треугольника APB
. Поскольку BO_{1}
— биссектриса угла ABP
,
BQ_{1}=O_{1}Q_{1}\ctg\angle Q_{1}BO_{1}=r\ctg\frac{45^{\circ}}{2}=r(1+\sqrt{2}).
Следовательно,
R=PB=PQ_{1}+Q_{1}B=r\sqrt{2}+r(1+\sqrt{2})=r(1+2\sqrt{2}),
h=R\tg45^{\circ}=R=r(1+2\sqrt{2}).
Если V
— объём конуса, то
V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi R^{3}=\frac{1}{3}\pi r^{3}(1+2\sqrt{2})^{3}.