7527. Можно ли точку в пространстве закрыть четырьмя шарами?
Ответ. Да.
Решение. Пусть ABCD
— правильный тетраэдр с центром в данной точке O
. Опишем около него сферу. Рассмотрим сечения сферы плоскостями ABC
, ABD
, ACD
и BCD
. Получим четыре окружности на сфере. В конусы с общей вершиной O
и окружностями оснований, описанными около треугольников ABC
, ABD
, ACD
и BCD
, поместим непересекающиеся шары, касающиеся боковых поверхностей (или их продолжений) этих конусов. Пусть R
— наибольшее из расстояний от точки O
до точек, лежащих на поверхностях этих четырёх шаров, M
— произвольная точка пространства, расположенная вне сферы с центром O
и радиусом R
. Тогда точка M
лежит внутри хотя бы одного из построенных бесконечных конусов. Следовательно, точки O
и M
разделены по крайней мере одним из указанных шаров.