7528. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если известно, что на его поверхности можно провести три попарно перпендикулярные образующие.
Ответ. \arccos\left(-\frac{1}{3}\right)
.
Указание. Пусть PA
, PB
и PC
— три попарно перпендикулярные образующие конуса с вершиной P
. Рассмотрите правильную треугольную пирамиду PABC
с основанием ABC
.
Решение. Пусть PA
, PB
и PC
— три попарно перпендикулярные образующие конуса с вершиной P
. Обозначим PA=PB=PC=a
. Тогда ABC
— равносторонний треугольник со стороной a\sqrt{2}
, а PABC
— правильная треугольная пирамида с основанием ABC
. Если \alpha
— угол между её боковым ребром и высотой PO
, то угол при вершине осевого сечения конуса равен 2\alpha
. Далее находим:
AO=AB\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=a\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{a\sqrt{6}}{3},~\sin\alpha=\sin\angle APO=\frac{AO}{PA}=\frac{\frac{a\sqrt{6}}{3}}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3},
\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{3},~\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}.