7530. Два равных конуса с общей вершиной касаются друг друга и некоторой плоскости
\alpha
. Пусть
l
— прямая, по которой пересекаются плоскости оснований конусов. Найдите угол между прямой
l
и плоскостью
\alpha
, если высота каждого конуса равна 2, а радиус основания равен 1.
Ответ.
60^{\circ}
.
Указание. Пусть
P
— общая вершина данных конусов,
PK
— их общая образующая,
PM
и
PN
— образующие конусов, лежащие в плоскости
\alpha
. Опишите около конусов треугольные пирамиды
ABPQ
и
BCPQ
с общей высотой
QP
и основаниями
ABP
и
CBP
так, чтобы равные равнобедренные треугольники
ABP
и
CBP
с общей боковой стороной
BP
лежали в плоскости
\alpha
, основание первого конуса было бы вписано в треугольник
AQB
, второго — в треугольник
BQC
,
PM
и
PN
были бы высотами треугольников
ABP
и
CBP
соответственно.
Решение. Пусть
P
— общая вершина данных конусов,
PK
— их общая образующая,
PM
и
PN
— образующие конусов, лежащие в плоскости
\alpha
. Опишем около конусов треугольные пирамиды
ABPQ
и
BCPQ
(«каркасы» конусов) с общей высотой
QP
и основаниями
ABP
и
CBP
(рис. 1). При этом равные равнобедренные треугольники
ABP
и
CBP
с общей боковой стороной
BP
лежат в плоскости
\alpha
, основание первого конуса вписано в треугольник
AQB
, второго — в треугольник
BQC
,
PM
и
PN
— высоты треугольников
ABP
и
CBP
соответственно,
BQ
— прямая пересечения плоскостей оснований конусов, а угол, который образует это прямая с плоскостью
\alpha
, — это угол
PBQ
.
Пусть
O_{1}
и
O_{2}
— центры оснований соответственно первого и второго конуса. Тогда
O_{1}K\perp BQ
, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах
PK\perp BQ
.
Рассмотрим прямоугольный треугольник
MPQ
(рис. 2).
PO_{1}
— его высота, проведённая из вершины прямого угла. Так как
PO_{1}=2
и
O_{1}M=1
, то
\tg\angle QMP=\frac{PO_{1}}{O_{1}M}=2,~\cos\angle QMP=\frac{1}{\sqrt{5}},

QP=\frac{PO_{1}}{\cos\angle QPO_{1}}=\frac{PO_{1}}{\cos\angle QMP}=2\sqrt{5}.

В прямоугольном треугольнике
QPB
(рис. 3) известно, что
PK=2\sqrt{PO^{2}+OK^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5},

кроме того,
PK
— высота, проведённая из вершины прямого угла. Значит,
\cos\angle PBQ=\cos\angle QPK=\frac{PK}{QP}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}.

Следовательно,
\angle PBQ=60^{\circ}
.
Примечание. См. статью И.Г.Габовича «Конусы в каркасах», Квант, 1977, N2, с.47-49.