7532. На плоскости лежат три равных конуса с общей вершиной. Каждый из них касается двух рядом лежащих. Найдите угол при вершине каждого конуса.
Ответ. 2\arctg\frac{\sqrt{3}}{2}=2\arccos\frac{2}{\sqrt{7}}=\arccos\frac{1}{7}
.
Указание. Пусть ABCD
— правильная треугольная пирамида с вершиной D
, O
— центр её основания ABC
. Рассмотрите три конуса с общей вершиной O
, вписанных в треугольные пирамиды OABD
, OBCD
и OACD
(«каркасы» конусов) так, что их основания вписаны в треугольники ABD
, BCD
и ACD
соответственно, причём каждые два конуса имеют ровно одну общую образующую.
Решение. Пусть ABCD
— правильная треугольная пирамида с вершиной D
, O
— центр её основания ABC
. Рассмотрим три конуса с общей вершиной O
, вписанных в треугольные пирамиды OABD
, OBCD
и OACD
(«каркасы» конусов) так, что их основания вписаны в треугольники ABD
, BCD
и ACD
соответственно, причём каждые два конуса имеют ровно одну общую образующую.
Пусть O_{1}
— центр основания конуса, вписанного в пирамиду OABD
, а OK
— образующая этого конуса, являющаяся также образующей конуса, вписанного в пирамиду OBCD
. Тогда O_{1}K\perp BD
, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах OK\perp BD
, значит, OK
— высота прямоугольного треугольника OBD
, проведённая из вершины прямого угла.
Обозначим AB=BC=AC=a
. Если M
— середина AB
, то
OK=OM=\frac{a\sqrt{3}}{6},~OB=\frac{\sqrt{3}}{3},~\cos\angle BOK=\frac{OK}{OB}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a\sqrt{3}}{3}}=\frac{1}{2},
поэтому \angle BDO=\angle BOK=60^{\circ}
. Следовательно,
DO=OB\ctg60^{\circ}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}a.
Пусть угол при вершине осевого сечения равен 2\alpha
. Тогда
\tg\alpha=\tg\angle MOO_{1}=\tg\angle MDO=\frac{OM}{DO}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{\frac{a}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2},
\cos2\alpha=\frac{1-\tg^{2}\alpha}{1+\tg^{2}\alpha}=\frac{1}{7}.
Примечание. См. статью И.Г.Габовича «Конусы в каркасах», Квант, 1977, N2, с.47-49.
Источник: Пособие по математике для поступающих в вузы / Под ред. Г. Н. Яковлева. — 3-е изд. — М.: Наука, 1988. — с. 541, № 95