7534. Два равных конуса с общей вершиной
D
расположены по разные стороны от плоскости
\alpha
и касаются этой плоскости по образующим
DE
и
DF
соответственно. Известно, что угол
EDF
равен
\varphi
, а угол между прямой пересечения плоскостей оснований конусов и плоскостью
\alpha
равен
\beta
. Найдите угол между высотой и образующей каждого конуса.
Ответ.
\arctg\frac{\sin\frac{\varphi}{2}}{\tg\beta}
.
Указание. Опишите около конусов равные треугольные пирамиды
ABDH
с основанием
ABD
и
KLDS
с основанием
KLD
(«каркасы» конусов) так, чтобы точки
H
и
S
лежали на перпендикуляре к плоскости
\alpha
, причём
HD=SD,AD=BD=KD=LD,

точки
E
и
F
— середины отрезков
AB
и
KL
соответственно, а окружности оснований конусов были бы вписаны в треугольники
AHB
и
KSL
.
Решение. Опишем около конусов равные треугольные пирамиды
ABDH
с основанием
ABD
и
KLDS
с основанием
KLD
(«каркасы» конусов) так, чтобы точки
H
и
S
лежали на перпендикуляре к плоскости
\alpha
, причём
HD=SD,AD=BD=KD=LD,

точки
E
и
F
— середины отрезков
AB
и
KL
соответственно, а окружности оснований конусов были бы вписаны в треугольники
AHB
и
KSL
.
Прямая
l
пересечения плоскостей оснований конусов, т. е. плоскостей
AHB
и
KSL
, проходит через точку
T
пересечения прямых
AB
и
KL
. Пусть
M
и
N
— точки пересечения прямой
l
с прямыми
HE
и
SF
;
P
и
Q
— ортогональные проекции точек
M
и
N
на плоскость
\alpha
. Тогда точки
P
и
Q
лежат на лучах
DE
и
DF
соответственно. Поэтому
\angle MTP=\angle NTQ=\beta,~\angle PDQ=\angle EDF=\varphi.

Пусть
\gamma
— искомый угол между высотой
DO
и образующей
DE
конуса, вписанного в пирамиду
ABDH
. Тогда
\angle DHE=\angle ODE=\gamma
. Пусть
DE=1
. Тогда
DT=\frac{DE}{\cos\angle EDT}=\frac{1}{\cos\frac{\varphi}{2}},~DP=\frac{DT}{\cos\angle TDP}=\frac{DT}{\cos\frac{\varphi}{2}}=\frac{1}{\cos^{2}\frac{\varphi}{2}},

PT=DT\tg\angle TDP=DT\tg\frac{\varphi}{2}=\frac{\tg\frac{\varphi}{2}}{\cos\frac{\varphi}{2}},~PE=DP-DE=\frac{1}{\cos^{2}\frac{\varphi}{2}}-1=\tg^{2}\frac{\varphi}{2}.

Из прямоугольных треугольников
MPE
и
MPT
находим, что
PM=\frac{PE}{\tg\angle PME}=\frac{PE}{\tg\gamma}=\frac{\tg^{2}\frac{\varphi}{2}}{\tg\gamma},

\tg\beta=\tg\angle PTM=\frac{PM}{PT}=\frac{\frac{\tg^{2}\frac{\varphi}{2}}{\tg\gamma}}{\frac{\tg\frac{\varphi}{2}}{\cos\frac{\varphi}{2}}}=\frac{\sin\frac{\varphi}{2}}{\tg\gamma}.

Следовательно,
\tg\gamma=\frac{\sin\frac{\varphi}{2}}{\tg\beta}
.
Примечание. См. статью И.Г.Габовича «Конусы в каркасах», Квант, 1977, N2, с.47-49.