7535. Два конуса имеют общую вершину, и образующая первого конуса является высотой второго. Угол при вершине осевого сечения первого конуса равен \arccos\frac{1}{3}
, а второго — 120^{\circ}
. Найдите угол между образующими, по которым пересекаются боковые поверхности конусов.
Ответ. 60^{\circ}
.
Указание. Пусть AO=1
— высота второго конуса, AM
и AN
— образующие второго, являющиеся образующими первого конуса. Через прямую MN
проведите плоскость, перпендикулярную высоте первого конуса и рассмотрите четырёхугольник AOPQ
, где P
— середина MN
, а Q
— центр основания первого конуса.
Решение. Поскольку 120^{\circ}\gt\arccos\frac{1}{3}
, высота первого конуса находится внутри второго (рис. 1). Пусть A
— общая вершина конусов, O
— центр основания второго конуса, AO=1
, AM
и AN
— общие образующие конусов.
Через прямую MN
проведём плоскость, перпендикулярную высоте первого конуса и пересекающую её в точке Q
. Тогда Q
— центр основания конуса, гомотетичного первому конусу относительно точки A
и AM=AN=\frac{AO}{\cos\angle OAM}=2
. Из прямоугольного треугольника AQM
находим, что
AQ=AM\cos\angle QAM=2\cos\left(\frac{1}{2}\arccos\frac{1}{3}\right)=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.
Пусть P
— середина отрезка MN
. Тогда точки O
, A
, Q
и P
лежат в одной плоскости (рис. 2), а так как \angle AOP=\angle AQP=90^{\circ}
, то эти точки лежат на окружности с диаметром AP
. Следовательно, AP=\frac{OQ}{\sin\angle OAQ}
.
Пусть K
— точка на продолжении отрезка AO
за точку O
, причём OK=AO=1
. Тогда QO
— медиана прямоугольного треугольника AQK
, проведённая из вершины прямого угла. Значит, OQ=\frac{1}{2}AK=1
. Поэтому
AP=\frac{1}{\sin\angle OAQ}=\sqrt{3}.
Следовательно, \angle MAP=30^{\circ}
и \angle MAN=60^{\circ}
.