7536. Три равных конуса с углом \alpha
(\alpha\leqslant\frac{2\pi}{3}
) при вершине осевого сечения имеют общую вершину и касаются друг друга внешним образом по образующим k
, l
, m
. Найдите угол между образующими l
и k
.
Ответ. 2\arcsin\left(\frac{1}{2}\tg\frac{\alpha}{2}\right)
.
Решение. Пусть S
— общая вершина данных конусов; SA
, SB
и SC
— высоты конусов. Рассмотрим правильную пирамиду SABC
с вершиной S
. Данные конусы касаются по прямым, содержащим апофемы пирамиды SABC
. Пусть SK
, SL
и SM
— апофемы, лежащие в гранях ASB
, BSC
и ACS
соответственно. Положим SA=SL=SK=1
. Тогда
KL=BK=BL=SL\tg\angle BSL=\tg\frac{\alpha}{2}.
Из равнобедренного треугольника KSL
находим, что
\sin\frac{1}{2}\angle KSL=\frac{\frac{1}{2}KL}{SK}=\frac{1}{2}\tg\frac{\alpha}{2}.
Следовательно,
\angle KSL=2\arcsin\left(\frac{1}{2}\tg\frac{\alpha}{2}\right).