7541. Составьте уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка с концами в точках P(-1;2;5)
и Q(3;-4;1)
перпендикулярно прямой, проходящей через точки A(0;-2;-1)
и B(3;2;-1)
.
Ответ. 3x+4y+1=0
.
Указание. Координаты середины отрезка равны средним арифметическим координат его концов. Уравнение плоскости, проходящей через точку M(x_{0};y_{0};z_{0})
перпендикулярно вектору \overrightarrow{n}=(a;b;c)
имеет вид
a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0.
Решение. Координаты середины M
отрезка PQ
равны средним арифметическим координат его концов, т. е. (1;-1;3)
. Искомая плоскость перпендикулярна вектору \overrightarrow{AB}=(3-0;2-(-2);-1-(-1))=(3;4;0)
, значит, её уравнение имеет вид
3(x-1)+4(y+1)+0(z-3)=0,~\mbox{или}~3x+4y+1=0.